„Sing“ ist ein Verb und „well“ ist ein Adverb. Ein Adverb ist ein Wort, das ein Verb, Adjektiv oder ein anderes Adverb modifiziert. In diesem Fall modifiziert „well“ das Verb „sing“.
„Gut“ ist ein Adjektiv und kann nur Substantive modifizieren. Daher kann „gut“ nicht verwendet werden, um das Verb „singen“ zu modifizieren.