Die längere Sehne ist weiter vom Mittelpunkt des Kreises entfernt als die kürzere Sehne.
Dies lässt sich mit folgendem Satz beweisen:
Theorem: Wenn zwei Sehnen eines Kreises deckungsgleich sind, dann ist die längere Sehne weiter vom Mittelpunkt des Kreises entfernt als die kürzere Sehne.
Beweis:
Seien $AB$ und $CD$ zwei kongruente Sehnen eines Kreises mit dem Mittelpunkt $O$.
Da $AB$ und $CD$ kongruent sind, gilt $|AB| =|CD|$.
Sei $d_1$ der Abstand von $O$ nach $AB$ und $d_2$ der Abstand von $O$ nach $CD$.
Da $O$ der Mittelpunkt des Kreises ist, ist $d_1 =d_2$.
Sei nun $E$ der Mittelpunkt von $AB$ und $F$ der Mittelpunkt von $CD$.
Da $E$ der Mittelpunkt von $AB$ ist, gilt $|AE| =|EB| =\frac{1}{2}|AB|$.
Da $F$ der Mittelpunkt von $CD$ ist, gilt $|CF| =|FD| =\frac{1}{2}|CD|$.
Da $|AB| =|CD|$ und $E$ und $F$ sind die Mittelpunkte von $AB$ bzw. $CD$, dann $|AE| =|EB| =|CF| =|FD|$.
Da $|AE| =|CF|$ und $d_1 =d_2$, dann $|AO| =|OC|$.
Daher ist $O$ von $AB$ und $CD$ gleich weit entfernt.
Da $O$ von $AB$ und $CD$ gleich weit entfernt ist, ist die längere Sehne $CD$ weiter vom Mittelpunkt des Kreises entfernt als die kürzere Sehne $AB$.