Begay wurde am 11. Januar 1954 in Tuba City, Arizona, geboren. Er wuchs im Navajo-Reservat auf, wo er von seinen Eltern und Großeltern etwas über die traditionelle Navajo-Kultur lernte. Begay begann schon in jungen Jahren mit dem Zeichnen und Malen und erkannte bald, dass er ein Talent für Kunst hatte.
Nach dem High-School-Abschluss studierte Begay Kunst am Institute of American Indian Arts in Santa Fe, New Mexico. Anschließend besuchte er die University of Arizona, wo er einen Bachelor of Fine Arts erwarb.
Begays Gemälde stellen eine Vielzahl von Themen dar, darunter Navajo-Zeremonien, Rituale und das Alltagsleben. Seine Arbeit zeichnet sich durch leuchtende Farben, komplizierte Muster und einen ausgeprägten Sinn für Spiritualität aus. Begays Gemälde wurden für ihre Schönheit, ihre kulturelle Bedeutung und ihre Fähigkeit, die Essenz des Navajo-Lebens einzufangen, gelobt.
Begays Arbeiten wurden in Museen und Galerien auf der ganzen Welt ausgestellt, darunter im Smithsonian Institution, im Heard Museum und im Museum of Modern Art. Er erhielt außerdem zahlreiche Auszeichnungen, darunter das National Endowment for the Arts Fellowship, den Arizona Governor's Arts Award und die Native American Art Awards.
Begays Arbeit inspiriert und informiert die Zuschauer weiterhin über die Navajo-Kultur. Er gilt als einer der bedeutendsten indianischen Künstler seiner Generation.
Begay starb am 17. August 2012 in Tuba City, Arizona, an Krebs. Er war 58 Jahre alt.