Poche wurde von den Angels in der zweiten Runde des Drafts 1986 gedraftet. Er gab 1989 sein Debüt in der Major League bei den Angels und verbrachte die meisten der nächsten drei Spielzeiten mit dem Team. 1992 wurde er zu den Reds transferiert, wo er die nächsten vier Spielzeiten verbrachte. Er beendete seine Major-League-Karriere 1996 bei den Padres.
Insgesamt erzielte Poche in 157 Karrierespielen einen Rekord von 53–52 mit einem ERA von 4,26. Er schlug 535 Batter in 923 gepitchten Innings.
Nach seinem Rücktritt vom Baseball wurde Poche Pitching-Trainer. Er hat in den Minor-League-Systemen der Angels, Reds und Seattle Mariners gearbeitet. Derzeit ist er Pitching-Trainer für die Louisville Bats, den Triple-A-Partner der Cincinnati Reds.