Wenn eine Gerade zwei Seiten eines Dreiecks schneidet und parallel zur dritten Seite verläuft, dann teilt sie diese beiden Seiten im gleichen Verhältnis.
Mit anderen Worten:Wenn eine Linie zwei Seiten eines Dreiecks schneidet und parallel zur dritten Seite verläuft, dann ist das Verhältnis der Längen der Segmente der beiden Seiten, die sich schneiden, gleich dem Verhältnis der Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks.
>Hier ist ein Diagramm, das den Satz von Thales veranschaulicht:
„
A--------B
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| |
CD
Wenn die Linie EF parallel zur Seite AD verläuft, dann:
AE/EC =BF/FD
„
[Beweis]
Wir können den Satz von Thales anhand ähnlicher Dreiecke beweisen.
Zuerst zeichnen wir eine Linie von A nach D. Diese Linie schneidet die Linie EF im Punkt G.
>Jetzt haben wir zwei Dreiecke:ABC und ADG.
Das Dreieck ABC ähnelt dem Dreieck ADG, weil es zwei gleiche Winkel hat:Der Winkel CAB ist gleich dem Winkel DAG, weil es alternative Innenwinkel sind, und der Winkel ABC ist gleich dem Winkel ADG, weil es sich um entsprechende Winkel handelt.
Da die Dreiecke ABC und ADG ähnlich sind, gilt:
AB / AD =BC / DG
Wir wissen auch, dass die Linie EF parallel zu AD ist, also gilt:
EF / DG =AB / AD
Wenn wir diese beiden Gleichungen kombinieren, erhalten wir:
EF / DG =BC / DG
Wenn wir diese Gleichung vereinfachen, erhalten wir:
EF =BC
Daher teilt die Linie EF die Seiten AC und BD im gleichen Verhältnis.