Palmer wurde in Cedar Falls, Iowa, geboren und schloss 1919 sein Architekturstudium an der University of Illinois ab. Er zog 1921 nach Oak Park, Illinois und engagierte sich in der Prairie-Schulbewegung. Er arbeitete kurze Zeit für Frank Lloyd Wright, bevor er 1922 seine eigene Praxis eröffnete.
Palmers Designs wurden von Wright beeinflusst, er entwickelte aber auch seinen eigenen, einzigartigen Stil. Er war bekannt für die Verwendung einfacher Formen, natürlicher Materialien und offener Grundrisse. In seinen Entwürfen bezog er auch häufig Elemente der Natur ein, etwa Gärten, Terrassen und Pools.
Palmer entwarf im Laufe seiner Karriere über 1.000 Häuser und andere Gebäude. Viele seiner Werke befinden sich im Großraum Chicago, er entwarf aber auch Projekte in anderen Teilen der USA und Kanadas. Zu seinen bemerkenswertesten Werken zählen das Palmer House (1927), das Winnetka Community House (1928) und der Chicago Botanic Garden (1940).
Von 1945 bis 1968 war Palmer außerdem Professor für Architektur am Illinois Institute of Technology. Er war Fellow des American Institute of Architects und erhielt zahlreiche Auszeichnungen für seine Arbeit, darunter 1967 die AIA-Goldmedaille.
Palmer starb 1978 in Oak Park, Illinois. Sein Vermächtnis wird durch sein Werk fortgeführt, das als eines der besten Beispiele der Prairie-Schularchitektur gilt.